L' algèbre est une branche des mathématiques qui utilise des chiffres, des lettres et des signes pour désigner les différentes opérations arithmétiques effectuées. Aujourd'hui, l'algèbre en tant que ressource mathématique est utilisée dans les relations, les structures et la quantité. L'algèbre élémentaire est la plus courante car c'est celle qui utilise des opérations arithmétiques telles que l'addition, la soustraction, la multiplication et la division car, contrairement à l'arithmétique, elle utilise des symboles tels que xy étant le plus courant au lieu d'utiliser des nombres.
Qu'est-ce que l'algèbre
Table des matières
C'est la branche qui appartient aux mathématiques, qui permet de développer et de résoudre des problèmes d'arithmétique à travers des lettres, des symboles et des nombres, qui à leur tour symbolisent des objets, des sujets ou des groupes d'éléments. Cela permet de formuler des opérations contenant des nombres inconnus, appelés inconnus et qui rend possible le développement d'équations.
Grâce à l'algèbre, l'homme a pu compter de manière abstraite et générique, mais aussi plus avancée, grâce à des calculs plus complexes, développés par des intellectuels mathématiques et physiques tels que Sir Isaac Newton (1643-1727), Leonhard Euler (1707- 1783), Pierre de Fermat (1607-1665) ou Carl Friedrich Gauss (1777-1855), grâce auxquels nous avons la définition de l'algèbre telle qu'elle est connue aujourd'hui.
Cependant, selon l'histoire de l'algèbre, Diophantus d'Alexandrie (date de naissance et de décès inconnue, aurait vécu entre le IIIe et le IVe siècle), était en fait le père de cette branche, car il a publié un ouvrage intitulé Arithmetica, qui Il se composait de treize livres et dans lesquels il présentait des problèmes avec des équations qui, bien qu'elles ne correspondent pas à un caractère théorique, étaient adéquates pour des solutions générales. Cela a aidé à définir ce qu'est l'algèbre, et parmi les nombreuses contributions qu'il a apportées, c'était la mise en œuvre de symboles universels pour la représentation d'une inconnue dans les variables du problème à résoudre.
L'origine du mot «algèbre» vient de l'arabe et signifie «restauration» ou «reconnaissance». De la même manière, il a sa signification en latin, qui correspond à «réduction», et, bien que ce ne soient pas des termes identiques, ils signifient la même chose.
Comme outil supplémentaire pour l'étude de cette branche, vous pouvez avoir la calculatrice algébrique, qui sont des calculatrices qui peuvent représenter graphiquement des fonctions algébriques. Permettant ainsi d'intégrer, de dériver, de simplifier des expressions et des fonctions graphiques, de créer des matrices, de résoudre des équations, entre autres fonctions, bien que cet outil soit plus approprié pour un niveau supérieur.
Dans l'algèbre se trouve le terme algébrique, qui est le produit d'un facteur numérique d'au moins une variable de lettre; dans lequel chaque terme peut être différencié par son coefficient numérique, ses variables représentées par des lettres et le degré du terme en ajoutant les exposants des éléments littéraux. Cela signifie que pour le terme algébrique p5qr2, le coefficient sera 1, sa partie littérale sera p5qr2 et son degré sera 5 + 1 + 2 = 8.
Qu'est-ce qu'une expression algébrique
C'est une expression composée de constantes entières, de variables et d'opérations algébriques. Une expression algébrique est composée de signes ou de symboles et est composée d'autres éléments spécifiques.
En algèbre élémentaire, ainsi qu'en arithmétique, les opérations algébriques utilisées pour résoudre des problèmes sont: l'addition ou l'addition, la soustraction ou la soustraction, la multiplication, la division, l'autonomisation (multiplication d'un facteur multiple fois) et radication (opération inverse de potentialisation).
Les signes utilisés dans ces opérations sont les mêmes que ceux utilisés en arithmétique pour l'addition (+) et la soustraction (-), mais pour la multiplication, le X (x) est remplacé par un point (.) Ou ils peuvent être représentés par des signes de regroupement (exemple: cd et (c) (d) sont équivalents à l'élément «c» multiplié par l'élément «d» ou cxd) et dans la division algébrique deux points (:) sont utilisés.
Des signes de regroupement sont également utilisés, tels que des parenthèses (), des crochets, des accolades {} et des bandes horizontales. Des signes de relation sont également utilisés, qui sont ceux utilisés pour indiquer qu'il existe une corrélation entre deux données, et parmi les plus utilisés sont égaux à (=), supérieur à (>) et inférieur à (<).
En outre, ils sont caractérisés en utilisant des nombres réels (rationnels, qui incluent positif, négatif et zéro; et irrationnel, qui sont ceux qui ne peuvent pas être représentés comme des fractions) ou complexes, qui font partie des réels, formant un champ algébriquement clos.
Ce sont les principales expressions algébriques
Il y a des expressions qui font partie du concept de ce qu'est l'algèbre, ces expressions sont classées en deux types: les monômes, qui sont ceux qui ont un seul ajout; et les polynômes, qui ont deux (binômes), trois (trinômes) ou plus addends.
Quelques exemples de monômes seraient: 3x, π
Alors que certains polynômes peuvent être: 4 × 2 + 2x (binôme); 7ab + 3a3 (trinôme)
Il est important de mentionner que si la variable (dans ce cas "x") est dans le dénominateur ou dans une racine, les expressions ne seraient pas des monômes ou des polynômes.
Qu'est-ce que l'algèbre linéaire
Ce domaine des mathématiques et de l'algèbre est celui qui étudie les concepts de vecteurs, matrices, systèmes d'équations linéaires, espaces vectoriels, transformations linéaires et matrices. Comme on peut le voir, l'algèbre linéaire a diverses applications.
Son utilité varie de l'étude de l'espace des fonctions, qui sont celles qui sont définies par un ensemble X (horizontal) à un ensemble Y (vertical) et sont appliquées à des espaces vectoriels ou topologiques; les équations différentielles, qui relient une fonction (valeur qui dépend de la deuxième valeur) à ses dérivées (taux de changement instantané qui fait varier la valeur d'une fonction donnée); la recherche opérationnelle, qui applique des méthodes analytiques avancées pour prendre des décisions éclairées; à l' ingénierie.
L'un des axes principaux de l'étude de l'algèbre linéaire se trouve dans les espaces vectoriels, qui sont constitués d'un ensemble de vecteurs (segments d'une ligne) et d'un ensemble de scalaires (nombres réels, constants ou complexes, qui ont une grandeur mais pas le caractéristique de vecteur de direction).
Les principaux espaces vectoriels de dimension finie sont au nombre de trois:
- Les vecteurs dans Rn, qui représentent les coordonnées cartésiennes (axe X horizontal et axe Y vertical).
- Les matrices, qui sont des expressions de systèmes rectangulaires (représentées par des nombres ou des symboles), sont caractérisées par un certain nombre de lignes (généralement représentées par la lettre «m») et un certain nombre de colonnes (désignées par la lettre «n»), et ils sont utilisés en science et en ingénierie.
- L' espace vectoriel des polynômes dans la même variable, donné par des polynômes ne dépassant pas le degré 2, ont des coefficients réels et se trouvent sur la variable "x".
Fonctions algébriques
Il fait référence à une fonction qui correspond à une expression algébrique, tout en satisfaisant également une équation polynomiale (ses coefficients peuvent être des monômes ou des polynômes). Ils sont classés comme suit: valeur rationnelle, irrationnelle et absolue.
- Les fonctions rationnelles entières sont celles exprimées en:, où "P" et "Q" représentent deux polynômes et "x" la variable, où "Q" est différent du polynôme nul, et la variable "x" n'annule pas le dénominateur.
- Fonctions irrationnelles, dans lesquelles l'expression f (x) représente un radical, comme ceci:. Si la valeur de "n" est paire, le radical sera défini de telle sorte que g (x) soit supérieur et égal à 0, et le signe du résultat doit également être indiqué, car sans lui, il ne serait pas possible de parler de fonction car pour chaque valeur de «x», il y aurait deux résultats; tandis que si l'indice du radical est impair, ce dernier n'est pas nécessaire, puisque le résultat serait unique.
- La valeur absolue fonctionne, où la valeur absolue d'un nombre réel sera sa valeur numérique en laissant de côté son signe. Par exemple, 5 sera la valeur absolue de 5 et -5.
Il existe des fonctions algébriques explicites, dans lesquelles sa variable "y" sera le résultat de la combinaison de la variable "x" un nombre limité de fois, en utilisant des opérations algébriques (par exemple, l'addition algébrique), qui incluent l'élévation aux puissances et à l'extraction des racines; cela se traduirait par y = f (x). Un exemple de ce type de fonction algébrique pourrait être le suivant: y = 3x + 2 ou ce qui serait le même: (x) = 3x + 2, puisque «y» n'est exprimé qu'en termes de «x».
Par contre, il y a les implicites, qui sont celles dans lesquelles la variable «y» n'est pas exprimée uniquement en fonction de la variable «x», donc y ≠ f (x). Comme exemple de ce type de fonction, nous avons: y = 5x3y-2
Exemples de fonctions algébriques
Il existe au moins 30 types de fonctions algébriques, mais parmi les plus importants, il y a les exemples suivants:
1. Fonction explicite: ƒ () = sin
2. Fonction implicite: yx = 9 × 3 + x-5
3. Fonction polynomiale:
a) Constante: ƒ () = 6
b) Premier degré ou linéaire: ƒ () = 3 + 4
c) Deuxième degré ou quadratique: ƒ () = 2 + 2 + 1 ou (+1) 2
d) Troisième degré ou cubique: ƒ () = 2 3 + 4 2 + 3 +9
4. Fonction rationnelle: ƒ
5. Fonction potentielle: ƒ () = - 1
6. Fonction radicale: ƒ () =
7. Fonction par sections: ƒ () = si 0 ≤ ≤ 5
Qu'est-ce que l'algèbre de Baldor
Quand on parle de ce qu'est l'algèbre de Baldor, il se réfère à un travail développé par le mathématicien, enseignant, écrivain et avocat Aurelio Baldor (1906-1978), qui a été publié en 1941. Dans la publication du professeur, qui est né à La Havane, Cuba, 5 790 exercices sont passés en revue, soit une moyenne de 19 exercices par test.
Baldor a publié d'autres ouvrages, tels que "Plane and Space Geometry", "Baldor Trigonometry" et "Baldor Arithmetic", mais celui qui a eu le plus d'impact dans le domaine de cette branche a été "Baldor Algebra".
Ce matériel est cependant plus recommandé pour le niveau d'enseignement moyen (comme le lycée), car pour les niveaux supérieurs (université), il ne servirait guère de complément à d'autres textes plus avancés et selon ce niveau.
La célèbre couverture représentant le mathématicien, astronome et géographe musulman persan Al-Juarismi (780-846), a représenté la confusion parmi les étudiants qui ont utilisé ce célèbre outil mathématique, car on pense que ce personnage est sur son auteur Baldor.
Le contenu de l'ouvrage est divisé en 39 chapitres et une annexe, qui contient des tableaux de calcul, un tableau des formes de base de décomposition factorielle et des tableaux de racines et de puissances; et à la fin du texte se trouvent les réponses aux exercices.
Au début de chaque chapitre, il y a une illustration qui reflète un aperçu historique du concept qui sera développé et expliqué ci-dessous, et mentionne des personnages historiques de premier plan dans le domaine, en fonction du contexte historique dans lequel se situe la référence du concept. Ces personnages vont de Pythagore, Archimède, Platon, Diophantus, Hypatie et Euclide, à René Descartes, Isaac Newton, Leonardo Euler, Blas Pascal, Pierre-Simon Laplace, Johann Carl Friedrich Gauss, Max Planck et Albert Einstein.
À quoi est due la renommée de ce livre?
Son succès réside dans le fait qu'il est, en plus d'un célèbre ouvrage littéraire obligatoire dans les lycées d'Amérique latine, le livre le plus consulté et le plus complet sur le sujet, car il contient une explication claire des concepts et de leurs équations algébriques, ainsi que des données historiques sur les aspects à étudier, dans lequel le langage algébrique est manipulé.
Ce livre est l'initiation par excellence des étudiants au monde algébrique, même s'il représente pour certains une source d'études inspirantes et pour d'autres il est redouté, la vérité est qu'il s'agit d'une bibliographie obligatoire et idéale pour une meilleure compréhension des sujets abordés..
Qu'est-ce que l'algèbre booléenne
Le mathématicien anglais George Boole (1815-1864), a créé un ensemble de lois et de règles pour effectuer des opérations algébriques, au point qu'une partie de celui-ci a reçu son nom. Pour cette raison, le mathématicien anglais et logicien est considéré comme l' un des précurseurs de l' informatique scientifique.
Dans les problèmes logiques et philosophiques, les lois développées par Boole ont permis de les simplifier en deux états, qui sont le vrai état ou le faux état, et ces conclusions ont été obtenues par voie mathématique. Certains systèmes de contrôle mis en œuvre, tels que les contacteurs et les relais, utilisent des composants ouverts et fermés, avec le conducteur ouvert et le fermé non. C'est ce qu'on appelle tout ou rien en algèbre booléenne.
Ces états ont une représentation numérique de 1 et 0, où 1 représente le vrai et 0 le faux, ce qui facilite leur étude. Selon tout cela, tout composant de tout type ou rien peut être représenté par une variable logique, ce qui signifie qu'il peut présenter la valeur 1 ou 0, ces représentations sont appelées code binaire.
L'algèbre booléenne permet de simplifier les circuits logiques ou la commutation logique au sein de l'électronique numérique; également à travers lui, les calculs et les opérations logiques des circuits peuvent être effectués d'une manière plus expresse.
En algèbre booléenne, il existe trois procédures fondamentales, qui sont: le produit logique, la porte ET ou la fonction d'intersection; la somme logique, la porte OU ou la fonction d'union; et négation logique, PAS de fonction de porte ou de complément. Il existe également plusieurs fonctions auxiliaires: négation de produit logique, porte NAND; négation de la somme logique, porte NOR; somme logique exclusive, porte XOR; et négation de la somme logique exclusive, porte XNOR.
Dans l'algèbre booléenne, il existe un certain nombre de lois, parmi lesquelles:
- Droit d'annulation. Aussi appelée loi d'annulation, elle dit que dans certains exercices après un processus, le terme indépendant sera annulé, de sorte que (AB) + A = A et (A + B). A = A.
- Loi d'identité. Ou d'identité des éléments 0 et 1, il établit qu'une variable à laquelle est ajouté l'élément nul ou 0, sera égale à la même variable A + 0 = A de la même manière que si la variable est multipliée par 1, le résultat est le même A.1 = a.
- Loi idempotente. États qu'une action particulière peut être effectuée plusieurs fois et le même résultat, de sorte que, si vous avez une combinaison A + A = A et si elle est une disjonction AA = A.
- Loi commutative. Cela signifie que la matière ne l'ordre dans lequel les variables sont, si A + B = B + A.
- Loi de la double négation. O involution, stipule que si une négation est donnée à un autre refus d' un résultat positif, de sorte que (A «) = A.
- Théorème de Morgan. Ceux-ci disent que la somme d'un certain nombre de variables négatives en général sera égale au produit de chaque variable négative indépendamment, donc (A + B) '= A'.B' et (AB) '= A' + B '.
- Loi distributive. Il établit que lorsque certaines variables sont jointes, qui seront multipliées par une autre variable externe, ce sera la même chose que de multiplier chaque variable regroupée par la variable externe, comme suit: A (B + C) = AB + AC.
- Loi d'absorption. Il dit que si une variable A implique une variable B, alors la variable A impliquera A et B, et A sera "absorbé" par B.
- Droit associatif. Dans la disjonction ou lors de la jonction de plusieurs variables, le résultat sera le même quel que soit leur regroupement; de sorte que dans l'addition A + (B + C) = (A + B) + C (le premier élément plus l'association des deux derniers, est égal à l'association des deux premiers plus le dernier).
