La combinaison de lettres, de signes et de nombres dans les opérations mathématiques est connue sous le nom d'expressions algébriques. Habituellement, les lettres représentent des quantités inconnues et sont appelées variables ou inconnues. Les expressions algébriques permettent des traductions vers les expressions mathématiques du langage ordinaire. Les expressions algébriques découlent de l'obligation de traduire des valeurs inconnues en nombres représentés par des lettres. La branche des mathématiques responsable de l'étude de ces expressions dans lesquelles apparaissent des nombres et des lettres, ainsi que des signes d'opérations mathématiques, est l'algèbre.
Que sont les expressions algébriques
Table des matières
Comme mentionné précédemment, ces opérations ne sont rien de plus que la combinaison de lettres, de chiffres et de signes qui sont ensuite utilisés dans différentes opérations mathématiques. Dans les expressions algébriques, les lettres ont le comportement des nombres et lorsqu'elles suivent ce cours, entre une et deux lettres sont utilisées.
Quelle que soit l' expression que vous avez, la première chose à faire est de simplifier, ceci est réalisé en utilisant les propriétés de la ou des opérations, qui sont équivalentes aux propriétés numériques. Pour trouver la valeur numérique d'une opération algébrique, vous devez remplacer la lettre par un certain nombre.
De nombreux exercices peuvent être faits sur ces expressions et ils seront faits dans cette section pour améliorer la compréhension du sujet en question.
Exemples d'expressions algébriques:
- (X + 5 / X + 2) + (4X + 5 / X + 2)
X + 5 + 4X + 5 / X + 2
5X + 10 / X + 2
5 (X + 2) / X + 2
5
- (3 / X + 1) - (1 / X + 2)
3 (X + 2) - X - 1 / (X + 1) * (X + 2)
2X - 5 / X ^ 2 + 3X + 2
Langage algébrique
Le langage algébrique est celui qui utilise des symboles et des lettres pour représenter les nombres. Sa fonction principale est d'établir et de structurer un langage qui aide à généraliser les différentes opérations qui ont lieu dans l'arithmétique où seuls les nombres et leurs opérations arithmétiques élémentaires (+ -x%) se produisent.
Le langage algébrique vise à établir et à concevoir un langage qui aide à généraliser les différentes opérations développées au sein de l'arithmétique, où seuls les nombres et leurs opérations mathématiques de base sont utilisés: addition (+), soustraction (-), multiplication (x) et division (/).
Le langage algébrique se caractérise par sa précision, car il est beaucoup plus concret que le langage numérique. Grâce à lui, les phrases peuvent être exprimées brièvement. Exemple: l'ensemble des multiples de 3 est (3, 6, 9, 12…) est exprimé 3n, où n = (1, 2, 3, 4…).
Il vous permet d'exprimer des nombres inconnus et d'effectuer des opérations mathématiques avec eux. Exemple, la somme de deux nombres est exprimée comme ceci: a + b. Prend en charge l'expression de propriétés et de relations numériques générales.
Exemple: la propriété commutative s'exprime comme ceci: axb = bx a. Lors de l'écriture en utilisant ce langage, des quantités inconnues peuvent être manipulées avec des symboles simples à écrire, permettant la simplification des théorèmes, la formulation d'équations et d'inégalités et l'étude de la façon de les résoudre.
Signes et symboles algébriques
En algèbre, les symboles et les signes sont utilisés en théorie des ensembles et ils constituent ou représentent des équations, des séries, des matrices, etc. Les lettres sont exprimées ou nommées en tant que variables, car la même lettre est utilisée dans d'autres problèmes et sa valeur trouve des variables différentes. Parmi certaines des expressions algébriques de classification, on trouve les suivantes:
Fractions algébriques
Une fraction algébrique est connue comme celle qui est représentée par le quotient de deux polynômes qui montrent un comportement similaire aux fractions numériques. En mathématiques, vous pouvez utiliser ces fractions en faisant des multiplications et des divisions. Par conséquent, il doit être exprimé que la fraction algébrique est représentée par le quotient de deux expressions algébriques où le numérateur est le dividende et le dénominateur le diviseur.
Parmi les propriétés des fractions algébriques, on peut souligner que si le dénominateur est divisé ou multiplié par la même quantité non nulle, la fraction ne sera pas modifiée. Simplifier une fraction algébrique consiste à la transformer en une fraction qui ne peut plus être réduite, étant nécessaire de factoriser les polynômes qui composent le numérateur et le dénominateur.
Les expressions algébriques de classification se reflètent dans les types suivants: équivalents, simples, corrects, impropres, composés d'un numérateur ou d'un dénominateur nul. Ensuite, nous verrons chacun d'eux.
Equivalents
Vous êtes confronté à cet aspect lorsque le produit croisé est le même, c'est-à-dire lorsque le résultat des fractions est le même. Par exemple, de ces deux fractions algébriques: 2/5 et 4/10 seront équivalents si 2 * 10 = 5 * 4.
Facile
Ce sont ceux dans lesquels le numérateur et le dénominateur représentent des expressions rationnelles entières.
Posséder
Ce sont des fractions simples dans lesquelles le numérateur est inférieur au dénominateur.
Non conforme
Ce sont des fractions simples dans lesquelles le numérateur est égal ou supérieur au dénominateur.
Composite
Ils sont formés par une ou plusieurs fractions qui peuvent être localisées dans le numérateur, le dénominateur ou les deux.
Numérateur ou dénominateur nul
Se produit lorsque la valeur est 0. Dans le cas d'une fraction 0/0, elle sera indéterminée. Lors de l'utilisation de fractions algébriques pour effectuer des opérations mathématiques, certaines caractéristiques des opérations avec des fractions numériques doivent être prises en compte, par exemple, pour commencer le plus petit multiple commun doit être trouvé lorsque les dénominateurs sont de chiffres différents.
Dans la division et la multiplication, les opérations sont effectuées et exécutées de la même manière qu'avec les fractions numériques, car celles-ci doivent être préalablement simplifiées chaque fois que possible.
Les monomiaux
Les monomiaux sont des expressions algébriques largement utilisées qui ont une constante appelée coefficient et une partie littérale, qui est représentée par des lettres et peut être élevée à différentes puissances. Par exemple, le monôme 2x² a 2 comme coefficient et x² est la partie littérale.
A plusieurs reprises, la partie littérale peut être constituée d'une multiplication d'inconnues, par exemple dans le cas de 2xy. Chacune de ces lettres est appelée indéterminée ou variable. Un monôme est un type de polynôme avec un seul terme.De plus, il y a la possibilité d'être devant des monômes similaires.
Éléments de monômes
Étant donné le monôme 5x ^ 3; Les éléments suivants sont distingués:
- Coefficient: 5
- Partie littérale: x ^ 3
Le produit des monômes est le coefficient, qui fait référence au nombre qui apparaît en multipliant la partie littérale. Habituellement, il est placé au début. Si le produit des monômes a une valeur de 1, il n'est pas écrit, et il ne peut jamais être nul, puisque l'expression entière aurait une valeur de zéro. S'il y a quelque chose à savoir sur les exercices monômes, c'est que:
- Si un monôme n'a pas de coefficient, il est égal à un.
- Si un terme n'a pas d'exposant, il est égal à un.
- Si une partie littérale n'est pas présente, mais est requise, elle est considérée avec un exposant de zéro.
- Si rien de tout cela ne concorde, alors vous n'avez pas affaire à des exercices de monôme, vous pourriez même dire que la même règle existe avec les exercices entre polynômes et monômes.
Addition et soustraction de monômes
Pour pouvoir effectuer des sommes entre deux monômes linéaires, il faut garder la partie linéaire et additionner les coefficients. Dans les soustractions de deux monômes linéaires, la partie linéaire doit être conservée, comme dans les sommes, pour pouvoir soustraire les coefficients, puis les coefficients sont multipliés et les exposants sont additionnés avec les mêmes bases.
Multiplication des monômes
C'est un monôme dont le coefficient est le produit ou le résultat des coefficients, qui ont une partie littérale qui a été obtenue par la multiplication de puissances qui ont exactement la même base.
Division des monômes
Ce n'est rien de plus qu'un autre monôme dont le coefficient est le quotient des coefficients obtenus qui, en plus, ont une partie littérale obtenue à partir des divisions entre les puissances qui ont exactement la même base.
Polynômes
Lorsque nous parlons de polynômes, nous nous référons à une opération algébrique d'addition, de soustraction et de multiplication ordonnée faite de variables, de constantes et d'exposants. En algèbre, un polynôme peut avoir plus d'une variable (x, y, z), constantes (entiers ou fractions) et exposants (qui ne peuvent être que des entiers positifs).
Les polynômes sont constitués de termes finis, chaque terme est une expression qui contient un ou plusieurs des trois éléments avec lesquels ils sont constitués: des variables, des constantes ou des exposants. Par exemple: 9, 9x, 9xy sont tous des termes. Une autre façon d'identifier les termes est qu'ils sont séparés par addition et soustraction.
Pour résoudre, simplifier, ajouter ou soustraire des polynômes, vous devez joindre les termes avec les mêmes variables que, par exemple, les termes avec x, les termes avec «y» et les termes qui n'ont pas de variables. En outre, il est important de regarder le signe avant le terme qui déterminera s'il faut ajouter, soustraire ou multiplier. Les termes avec les mêmes variables sont regroupés, ajoutés ou soustraits.
Types de polynômes
Le nombre de termes que possède un polynôme indiquera de quel type de polynôme il s'agit, par exemple, s'il y a un polynôme à un seul terme, alors il fait face à un monôme. Un exemple clair de ceci est l'un des exercices de polynômes (8xy). Il existe également le polynôme à deux termes, appelé binôme et identifié par l'exemple suivant: 8xy - 2y.
Enfin, le polynôme de trois termes, appelés trinômes et identifiés par l'un des exercices de polynômes 8xy - 2y + 4. Les trinômes sont un type d'expression algébrique formé par la somme ou la différence de trois termes ou monômes (monômes similaires).
Il est également important de parler du degré de polynôme, car s'il s'agit d'une seule variable, c'est le plus grand exposant. Le degré d'un polynôme à plus d'une variable est déterminé par le terme ayant le plus grand exposant.
Addition et soustraction de polynômes
La somme des polynômes implique la combinaison de termes. Des termes similaires font référence à des monômes qui ont la même variable ou des variables élevées à la même puissance.
Il existe différentes manières d'effectuer des calculs polynomiaux, y compris la somme des polynômes, qui peuvent être effectués de deux manières différentes: horizontalement et verticalement.
- Ajout de polynômes horizontalement: il est utilisé pour effectuer des opérations horizontalement, pour la redondance, mais d'abord un polynôme est écrit puis il est suivi sur la même ligne. Après cela, l'autre polynôme qui va être ajouté ou soustrait est écrit et enfin, les termes similaires sont regroupés.
- Somme verticale des polynômes: elle est obtenue en écrivant le premier polynôme de manière ordonnée. Si celui-ci est incomplet, il est important de laisser les espaces des termes manquants libres. Ensuite, le polynôme suivant est écrit juste en dessous du précédent, de cette manière, le terme similaire à celui ci-dessus sera ci-dessous. Enfin, chaque colonne est ajoutée.
Il est important d'ajouter que pour ajouter deux polynômes, il faut additionner les coefficients des termes de même degré. Le résultat de l'ajout de deux termes du même degré est un autre terme du même degré. S'il manque un terme à l'un des degrés, il peut être complété par 0. Et ils sont généralement classés du plus haut au plus bas degré.
Comme mentionné ci-dessus, pour effectuer la somme de deux polynômes, il suffit d'ajouter les termes du même degré. Les propriétés de cette opération sont constituées de:
- Propriétés associatives: dans lesquelles la somme de deux polynômes est résolue en ajoutant les coefficients qui accompagnent les x qui s'élèvent à la même puissance.
- Propriété commutative: qui modifie l'ordre de l'addition et le résultat ne peut être déduit. Les éléments neutres, qui ont tous leurs coefficients égaux à 0. Lorsqu'un polynôme est ajouté à l'élément neutre, le résultat est égal au premier.
- Propriété opposée: formée par le polynôme qui a tous les coefficients inverses des coefficients polynomiaux agrégés. ainsi, lors de l'exécution de l'opération d'addition, le résultat est le polynôme nul.
En ce qui concerne la soustraction des polynômes (opérations avec polynômes), il est impératif de regrouper les monômes selon les caractéristiques qu'ils possèdent et de commencer par simplifier ceux qui étaient similaires. Les opérations avec des polynômes sont effectuées en ajoutant l'opposé de la sous-fin à la minuend.
Une autre manière efficace de procéder à la soustraction de polynômes consiste à écrire l'opposé de chaque polynôme sous l'autre. Ainsi, des monômes similaires restent dans les colonnes et nous procédons à leur ajout. Quelle que soit la technique utilisée, à la fin, le résultat sera toujours le même, bien sûr, si cela est fait correctement.
Multiplication des polynômes
Multiplication de monômes ou d'exercices entre polynômes et monômes, c'est une opération qui est effectuée pour trouver le produit résultant, entre un monôme (expression algébrique basée sur la multiplication d'un nombre et d'une lettre élevée à un exposant entier positif) et un autre expression, s'il s'agit d'un terme indépendant, d'un autre monôme, voire d'un polynôme (somme finie de monômes et de termes indépendants).
Cependant, comme pour presque toutes les opérations mathématiques, la multiplication des polynômes comporte également une série d'étapes à suivre lors de la résolution de l'opération proposée, qui peuvent être résumées dans les procédures suivantes:
La première chose à faire est de multiplier le monôme par son expression (multiplier les signes de chacun de ses termes). Après cela, les valeurs de coefficient sont multipliées et lorsque la valeur est trouvée dans cette opération, le littéral des monômes trouvés dans les termes est ajouté. Ensuite, chaque résultat est écrit par ordre alphabétique et, enfin, chaque exposant est ajouté, situé dans les littéraux de base.
Division polynomiale
Aussi connue sous le nom de méthode Ruffini. Cela nous permet de diviser un polynôme par un binôme et nous permet également de localiser les racines d'un polynôme pour le factoriser en binômes. En d'autres termes, cette technique permet de diviser ou décomposer un polynôme algébrique de degré n, en un binôme algébrique, puis en un autre polynôme algébrique de degré n-1. Et pour que cela soit possible, il est nécessaire de connaître ou de connaître au moins une des racines du polynôme unique, afin que la séparation soit exacte.
C'est une technique efficace pour diviser un polynôme par un binôme de la forme x - r. La règle de Ruffini est un cas particulier de division synthétique lorsque le diviseur est un facteur linéaire. La méthode de Ruffini a été décrite par le mathématicien italien, professeur et médecin Paolo Ruffini en 1804, qui en plus d'inventer la célèbre méthode appelée règle de Ruffini, qui aide à trouver les coefficients du résultat de la fragmentation d'un polynôme par le binôme; Il a également découvert et formulé cette technique sur le calcul approximatif des racines des équations.
Comme toujours, quand il s'agit d'une opération algébrique, la règle de Ruffini implique une série d'étapes qui doivent être accomplies pour arriver au résultat souhaité, dans ce cas: trouver le quotient et le reste inhérents à la division de tout type de polynôme et d'un binôme de forme x + r.
Tout d'abord, lors du démarrage de l'opération, les expressions doivent être revues pour vérifier ou déterminer si elles sont réellement traitées comme des polynômes et des binômes qui répondent à la forme attendue par la méthode Ruffini Rule.
Une fois ces étapes vérifiées, le polynôme est ordonné (par ordre décroissant). Après cette étape, seuls les coefficients des termes du polynôme (jusqu'à l'indépendant) sont pris en compte en les plaçant dans une rangée de gauche à droite. Des espaces sont laissés pour les termes nécessaires (uniquement en cas de polynôme incomplet). Le signe galère est placé à gauche de la ligne, qui est composée des coefficients du polynôme de dividende.
Dans la partie gauche de la galerie, nous procédons à placer le terme indépendant du binôme, qui, maintenant, est un diviseur et son signe est inverse. L'indépendant est multiplié par le premier coefficient du polynôme, s'inscrivant ainsi dans une deuxième ligne en dessous de la première. Ensuite, le deuxième coefficient et le produit du terme indépendant du monôme sont soustraits du premier coefficient.
Le terme indépendant du binôme est multiplié par le résultat de la soustraction précédente. Mais aussi, il est placé dans la deuxième ligne, ce qui correspond au quatrième coefficient. L'opération est répétée jusqu'à ce que tous les termes soient atteints. La troisième ligne obtenue à partir de ces multiplications est prise comme quotient, à l'exception de son dernier terme, qui sera considéré comme le reste de la division.
Le résultat est exprimé, accompagnant chaque coefficient de la variable et le degré qui lui correspond, en commençant à les exprimer avec un degré inférieur à celui qu'ils avaient à l'origine.
- Théorème du reste: c'est une méthode pratique utilisée pour diviser un polynôme P (x) par un autre dont la forme est xa; dans lequel seule la valeur du reste est obtenue. Pour appliquer cette règle, les étapes suivantes sont suivies. Le dividende polynomial s'écrit sans compléter ni ordonner, puis la variable x du dividende est remplacée par la valeur opposée du terme indépendant du diviseur. Et enfin, les opérations sont résolues en combinaison.
Le théorème du reste est une méthode par laquelle nous pouvons obtenir le reste d'une division algébrique mais dans laquelle il n'est pas nécessaire de faire une division.
- Méthode de Ruffini: La méthode ou règle de Ruffini est une méthode qui nous permet de diviser un polynôme par un binôme et nous permet également de localiser les racines d'un polynôme pour factoriser en binômes. En d'autres termes, cette technique permet de diviser ou décomposer un polynôme algébrique de degré n, en un binôme algébrique, puis en un autre polynôme algébrique de degré n-1. Et pour que cela soit possible, il est nécessaire de connaître ou de connaître au moins une des racines du polynôme unique, afin que la séparation soit exacte.
- Racines des polynômes: Les racines d'un polynôme sont certains nombres qui font qu'un polynôme vaut zéro. On peut aussi dire que les racines complètes d'un polynôme de coefficients entiers seront des diviseurs du terme indépendant. Lorsque nous résolvons un polynôme égal à zéro, nous obtenons les racines du polynôme sous forme de solutions. En tant que propriétés des racines et facteurs des polynômes, nous pouvons dire que les zéros ou les racines d'un polynôme sont par les diviseurs du terme indépendant qui appartient au polynôme.
Ceci nous permet de connaître le reste de la division d'un polynôme p (x) par un autre de la forme xa, par exemple. De ce théorème, il s'ensuit qu'un polynôme p (x) n'est divisible par xa que si a est une racine du polynôme, seulement si et seulement si p (a) = 0. Si C (x) est le quotient et R (x) est le reste de la division de tout polynôme p (x) par un binôme qui serait (xa) la valeur numérique de p (x), pour x = a, il est égal au reste de sa division par xa.
Alors nous dirons que: nP (a) = C (a) • (a - a) + R (a) = R (a). En général, pour obtenir le reste d'une division par Xa, il est plus pratique d'appliquer la règle de Ruffini que de remplacer x. Par conséquent, le théorème du reste est la méthode la plus appropriée pour résoudre des problèmes.
Dans le monde mathématique, la règle de Ruffini est une technique efficace pour diviser un polynôme par un binôme de la forme x - r. La règle de Ruffini est un cas particulier de division synthétique lorsque le diviseur est un facteur linéaire.
La méthode de Ruffini a été décrite par le mathématicien italien, professeur et médecin Paolo Ruffini en 1804, qui en plus d'inventer la célèbre méthode appelée règle de Ruffini, qui aide à trouver les coefficients du résultat de la fragmentation d'un polynôme par le binôme; Il a également découvert et formulé cette technique sur le calcul approximatif des racines des équations.
Ensuite, pour chaque racine, par exemple, de type x = a correspond à un binôme de type (xa). Il est possible d'exprimer un polynôme en facteurs si on l'exprime comme un produit ou de tous les binômes de type (xa) qui correspondent aux racines, x = a, qui résultent. Il faut prendre en compte que la somme des exposants des binômes est égale au degré du polynôme, il faut également prendre en compte que tout polynôme qui n'a pas de terme indépendant admettra comme racine x = 0, d'une autre manière, il admettra comme un Facteur X.
Nous appellerons un polynôme «premier» ou «irréductible» lorsqu'il n'y a aucune possibilité de le factoriser.
Pour approfondir le sujet, il faut être clair sur le théorème fondamental de l'algèbre, qui stipule qu'il suffit qu'un polynôme en variable non constante et des coefficients complexes ait autant de racines que leur degré, puisque les racines ont leurs multiplicités. Cela confirme que toute équation algébrique de degré n a n solutions complexes. Un polynôme de degré n a un maximum de n racines réelles.
Exemples et exercices
Dans cette section, nous placerons quelques expressions algébriques des exercices résolus de chacun des sujets abordés dans cet article.
Exercices d'expressions algébriques:
- X ^ 2 - 9 / 2X + 6
(X + 3) * (X - 3) / 2 * (X + 3)
X - 3/2
- X ^ 2 + 2X + 1 / X ^ 2 - 1
(X + 1) ^ 2 / (X + 1) * (X - 1)
X + 1 / X - 1
Somme des polynômes
- 2x + 3x + 5x = (2 + 3 + 5) x = 10 x
- P (x) = 2 × 2 + 5x-6
Q (x) = 3 × 2-6x + 3
P (x) + Q (x) = (2 × 2 + 5x-6) + (3 × 2-6x +3) = (2 × 2 + 3 × 2) + (5x-6x) + (-6 + 3) = 5 × 2-x-3
Soustraction de polynômes
P (x) = 2 × 2 + 5x-6
Q (x) = 3 × 2-6x + 3
P (x) -Q (x) = (2 × 2 + 5x-6) - (3 × 2-6x +3) = (2 × 2 + 5x-6) + (-3 × 2 + 6x-3) = (2 × 2-3 × 2) + (5x + 6x) + (-6-3) = -x2 + 11x-9
Division polynomiale
- 8 a / 2 a = (8/2). (A / a) = 4
- 15 ay / 3a = (15/3) (ay) / a = 5 et
- 12 bxy / -2 bxy = (12 / -2) (bxy) / (bxy.) = -6
- -6 v2.c. x / -3vc = (-6 / -3) (v2.c. x) / (v. c) = 2 v
Expressions algébriques (binomial au carré)
(x + 3) 2 = x 2 + 2 • x • 3 + 32 = x 2 + 6 x + 9
(2x - 3) 2 = (2x) 2 - 2 • 2x • 3 + 32 = 4 × 2 - 12 x + 9
Théorème du reste
(x4 - 3 × 2 + 2):(x - 3)
R = P (3) = 34 - 3 • 32 + 2 = 81 - 27 + 2 = 56
Multiplication des monômes
axnbxm = (ab) xn + m
(5x²y³z) (2y²z²) = (2 · 5) x²y3 + 2z1 + 2 = 10x²y5z³
4x · (3x²y) = 12x³y
Division des monômes
8 a / 2 a = (8/2). (A / a) = 4
15 ay / 3a = (15/3) (ay) / a = 5 et
12 bxy / -2 bxy = (12 / -2) (bxy) / (bxy.) = -6
-6 v2. c. x / -3vc = (-6 / -3) (v2.c. x) / (v. c) = 2 v
Addition et soustraction de monômes
Exercice: 3 × 3 - 4x + 5 - 2 + 2 × 3 + 2 × 2
Solution: 3 × 3 - 4x + 5 - 2 + 2 × 3 + 2 × 2 = 3 × 3 + 2 × 3 + 2 × 2 - 4x + 5 -2 = 5 × 3 + 2 × 2 - 4x + 3
